Question

【題目】下列說法中，正確的個數是（ ）
①函數f（x）=2x﹣x2的零點有2個；
②函數y=sin（2x+ ）sin（ ﹣2x）的最小正周期是π；
③命題“函數f（x）在x=x0處有極值，則f′（x0）=0”的否命題是真命題；
④ dx= ．
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】B
【解析】解：對于①，由函數f（x）=2x﹣x2，

∵f（2）=f（4）=0，∴2和4是函數的零點，

又f（0）=1＞0，f（﹣1）=2﹣1﹣（﹣1）2=﹣ ＜0，

∴f（0）f（﹣1）＜0；

∴f（x）在區間（﹣1，0）上存在零點，

∴函數f（x）共有3個零點，①錯誤；

對于②，函數y=sin（2x+ ）sin（ ﹣2x）

=sin（2x+ ）cos（2x+ ）

= sin（4x+ ），

∴y的最小正周期是T= = ，②錯誤；

對于③，命題“函數f（x）在x=x0處有極值，則f′（x0）=0”的否命題是：

若函數f（x）在x=x0處沒極值，f'（x0）≠0，是錯誤的，

如f（x）=x3，x=0不是函數的極值點，但x=0時，f′（0）=0，∴③錯誤；

對于④，根據定積分的幾何意義知， dx表示單位圓上半部分與x軸圍成的面積，

∴ dx= π12= ，∴④正確；

綜上，正確的命題是④，只有1個．

所以答案是：B．

【考點精析】利用命題的真假判斷與應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．