Question

【題目】（理科）已知函數f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．
（1）當t≠0時，求f（x）的單調區間；
（2）證明：對任意t∈（0，+∞），f（x）在區間（0，1）內均存在零點．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=12x2+6tx﹣6t2，令f'（x）=0，得x1=﹣t或 ．

1°當t＞0時，f'（x）＞0的解集為

∴f（x）的單調增區間為 ，f（x）的單調減區間為 ．

2°當t＜0時，f'（x）＜0的解集為

∴f（x）的單調增區間為 ，f（x）的單調減區間為

（2）證明：由（1）可知，當t＞0時，f（x）在 內遞減， 內單調遞增．

1°當 ，即t≥2時，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增．

f（0）=t﹣1＞0，f（1）=﹣6t2+4t+3＜0

∴f（x）在（0，1）內有零點．

2°當0＜ ＜1，即0＜t＜2時，f（x）在 內遞減，在 內單調遞增．

若 ＜0，f（1）=﹣6t2+4t+3≥﹣6t+4t+3=3﹣2t＞0

∴f（x）在 內存在零點．

若 ＜0，f（0）=t﹣1＞0

∴f（x）在 內存在零點．

∴對任意t∈（0，2），f（x）在區間（0，1）內均存在零點

【解析】（1）利用函數的導函數求所給函數的單調區間；（2）根據（1）中所求的單調區間對t進行分類討論，再利用零點存在定理證明命題成立.
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．