Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底要為平行四邊形， ，

, , 底面, 為上一點，且.

（1）證明： ;

（2）求二面角余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由底面,得，再利用余弦定理計算AD，根據勾股定理得，利用線面垂直判定定理可得，最后根據線面垂直性質定理得;（2）利用空間向量數量積求二面角的余弦值，先根據條件建立恰當空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，利用向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與法向量夾角關系確定所求值.

試題解析：（1）證明：在中, .

不妨設,則由已知,得,

所以，所以,

所以，即,又底面,所以

所以.

(2)解：由（1）知, ,以為原點，如圖所示建立空間直角坐標系，設,

于是， , , ,

因為為上一點，且,所以，所以,

所以,，設平面的法向量，

則，令，則

又,,設平面的法向量

，令，則，

設二面角的大小為，由圖可知，則.