Question

【題目】已知，，其中．

（1）若，令函數，解不等式；

（2）若，，求的值域；

（3）設函數，若對于任意大于等于2的實數，總存在唯一的小于2的實數，使得成立，試確定實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，值域為，當時，值域為；（3）

【解析】

（1）先由導函數得出在上的單調性，再根據單調性解函數不等式即可；（2）先求出的范圍，再根據指數函數的單調性求得值域；（3）首先對進行分類討論，接下來研究函數的單調性，再由“總存在唯一的小于2的實數，使得成立”分別求出兩函數的值域，使得的值域為的值域的子集，建立不等關系，解之即可．

（1）∵，時，

，

則且，，

∴，∴函數為單調遞減函數，

又，，

∴，

整理得，解得或，

不等式的解集為.

（2）∵，，∴，

∴，所以的值域為.

（3）①若，由，，

，，

∴不成立，

②若，由時，，

∴在上單調遞減，

從而，即

（）若，由于時，，

∴在上單調遞增，

從而，即，

要使成立，只需，

即成立即可，

由于函數在上單調遞增，且，

∴

（）若，由于時，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

從而，即，

要使成立，只需成立，

即成立即可．

由，可得，故當時，

恒成立．

綜上所述：的取值范圍是．