Question

【題目】考慮下面兩個定義域為（0，+∞）的函數f（x）的集合：對任何不同的兩個正數，都有，=對任何不同的兩個正數，都有

（1）已知，若，且，求實數和的取值范圍

（2）已知，且的部分函數值由下表給出：

比較與4的大小關系

（3）對于定義域為的函數，若存在常數，使得不等式對任何都成立，則稱為的上界，將中所有存在上界的函數組成的集合記作，判斷是否存在常數，使得對任何和，都有，若存在，求出的最小值，若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）當a≥0，b＜0時，f（x）∈Ω1且f（x）Ω2；（2）2d+t＜4；（3）0．

【解析】

（1）根據：f（x）∈Ω1且f（x）Ω2，可利用二次函數的單調性可得a的范圍，利用導數求出b的范圍．

（2）由f（x）∈Ω1，取0＜x1＜x2＜x1+x2，可得．由表格可知：f（a）＝d，f（b）＝d，f（c）＝t，f（a+b+c）＝4，0＜a＜b＜c＜a+b+c，利用函數為增函數可得，再利用不等式的性質即可得出．

（3）根據增函數先證明f（x）≤0對x∈（0，+∞）成立．再證明f（x）＝0在（0，+∞）上無解．即可得出．

（1）由：對任何不同的兩個正數，都有，=對任何不同的兩個正數，都有，

可得函數y，y在（0，+∞）為增函數，

y2x2+2ax+b，若f（x）∈Ω1，則0，即a≥0

y2x+a，

y′＝2，

當b≥0，x＞0時，y′＞0，此時f（x）∈Ω2，不符合題意，舍去；

當b＜0時，令y′＝0，解得x，此時函數在x∈（0，+∞）有極值點，因此f（x）Ω2．

綜上可得：當b＜0時，f（x）∈/span>Ω1且f（x）Ω2．

（2）由f（x）∈Ω1，若取0＜x1＜x2，

則．

由表格可知：f（a）＝d，f（b）＝d，f（c）＝t，f（a+b+c）＝4，

∵0＜a＜b＜c＜a+b+c，

∴，

∴d＜0，d，d，t，

∴2d+t=4.

（3）∵對任何f（x）∈T和x∈（0，+∞），都有f（x）＜M，

先證明f（x）≤0對x∈（0，+∞）成立．

假設存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，

記m＞0

∵y是增函數．

∴當x＞x0時，m＞0，

∴f（x）＞mx2，

∴一定可以找到一個x1＞x0，使得f（x1）＞mx12＞k，

這與f（x）＜k 對x∈（0，+∞）成立矛盾．

即f（x）≤0對x∈（0，+∞）成立．

∴存在f（x）∈T，f（x）≤0對x∈（0，+∞）成立．

下面證明f（x）＝0在（0，+∞）上無解．

假設存在x2＞0，使得f（x2）＝0，

∵y是增函數．

一定存在x3＞x2＞0，使0，這與上面證明的結果矛盾．

∴f（x）＝0在（0，+∞）上無解．

綜上，我們得到存在f（x）∈T，f（x）＜0對x∈（0，+∞）成立．

∴存在常數M≥0，使得存在f（x）∈T，x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立．

又令f（x）（x＞0），則f（x）＜0對x∈（0，+∞）成立，

又有在（0，+∞）上是增函數，

∴f（x）∈T，

而任取常數k＜0，總可以找到一個xn＞0，使得x＞xn時，有f（x）＞k．

∴M的最小值為0．