Question

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3.

（1）求拋物線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于，兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而求得拋物線方程.

（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，求出線段中點(diǎn)坐標(biāo)即圓心坐標(biāo)以及半徑，由此寫(xiě)出的表達(dá)式，進(jìn)而求得的最小值.

（1）由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，

點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3，，解得，

拋物線的方程為.

（2）由題知直線的斜率存在，

設(shè)，，直線的方程為，

由，消去得，

所以，，

所以，

所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

所以圓的半徑為.

在等腰中，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

所以的最小值為.