Question

【題目】如圖1，多邊形ABCDEF，四邊形ABCD為等腰梯形，，，，四邊形ADEF為直角梯形，，，以AD為折痕把等腰梯形ABCD折起，使得平面平面ADEF，如圖2．

（Ⅰ）證明：平面CDE；

（Ⅱ）求直線BE與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）過做，垂足為，根據已知求出，進而證明，根據面面垂直性質定理可得平面ABCD，即，最后由面面垂直判定定理即可得結果；

（Ⅱ）以AD的中點O為原點，以OA所在的直線為x軸建立空間直角坐標系，求出平面EAC的法向量，直線BE與平面EAC所成角的正弦值為即可得結果.

（Ⅰ）過做，垂足為，在等腰梯形ABCD中，

，

，

因為平面平面ADEF，平面平面，

，，所以，又平面ADEF，

所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，

又，所以平面CDE．

（Ⅱ）分別取的中點，連，

則，所以，

因為平面平面ADEF，平面平面，

所以平面，

如圖，以O為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，．

設平面EAC的法向量為，

則，即，

令，得．

故直線BE與平面EAC所成角的正弦值為

．