Question

【題目】已知過點的直線與拋物線交于不同的兩點，點，連接的直線與拋物線的另一交點分別為，如圖所示．

（Ⅰ）若，求直線的斜率；

（Ⅱ）試判斷直線的斜率是否為定值，如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，定值為2

【解析】

（Ⅰ）首先根據條件設出直線的方程，然后聯立拋物線方程，從而利用韋達定理求得直線的斜率；

（Ⅱ）首先分別聯立直線與拋物線的方程、直線與拋物線的方程，然后利用韋達定理求出，的坐標，從而求得直線的斜率．

（Ⅰ）設點，直線的斜率為，則其方程為，

與拋物線聯立，得，

所以依題意，代入，得解得．

（Ⅱ）直線的斜率是定值．

將直線與拋物線聯立，得，

所以且．

又因為直線的斜率為，其方程為，

與拋物線聯立，得，

故，即，

所以點的坐標為，同理，

所以，

即直線的斜率是定值．