Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥平面ABCD，E在棱PB上．

（Ⅰ）求證：AC⊥PD；

（Ⅱ）若VP﹣ACE，求證：PD∥平面AEC．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】

（I）過作，判斷出四邊形為則方程，由此證得，結合證得平面，從而證得.

（II）利用題目所給體積求得到平面的距離，連接交于，連接，通過證明，證得，由此證得平面.

（Ⅰ）過A作AF⊥DC于F，∵AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴四邊形ABCF為正方形，則CF＝DF＝AF＝1，

∴∠DAC＝90°，得AC⊥DA，又PA⊥底面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PA，

又PA，AD平面PAD，PA∩AD＝A，∴AC⊥平面PAD，又PD平面PAD，∴AC⊥PD；

（Ⅱ）設E到平面ABCD的距離為h，則VP﹣ACE，得h．

又PA＝2，則PB：EB＝PA：h＝3：1．∵BC＝1，CD＝2，∴DB，連接DB交AC于O，連接OE，

∵△AOB∽△COD，∴DO：OB＝2：1，得DB：OB＝3：1，

∴PB：EB＝DB：OB，則PD∥OE．又OE平面AEC，PD平面AEC，∴PD∥平面AEC．