Question

【題目】某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資類產品的收益與投資額成正比，投資類產品的收益與投資額的算術平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產品的收益分別為0．125萬元和0．5萬元．

（1）分別寫出兩類產品的收益與投資額的函數關系；

（2）該家庭有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝x（x≥0），g（x）＝（x≥0）；（2）投資A類為16萬元，投資B類為4萬，最大3萬元．

【解析】

試題分析：（1）由投資債券等穩健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比，結合函數圖象，我們可以利用待定系數法來求兩種產品的收益與投資的函數關系；

（2）由（1）的結論，我們設設投資債券類產品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．這時可以構造出一個關于收益y的函數，然后利用求函數最大值的方法進行求解．

試題解析：（1）設兩類產品的收益與投資額的函數分別為f（x）＝k1x，g（x）＝k2．

由已知得f（1）＝＝k1，g（1）＝＝k2，所以f（x）＝x（x≥0），g（x）＝（x≥0）．

（2）設投資類產品為x萬元，則投資類產品為（20－x）萬元．

依題意得y＝f（x）＋g（20－x）＝＋（0≤x≤20）．

令t＝（0≤t≤2），則y＝＋t＝－（t－2）2＋3，

所以當t＝2，即x＝16時，收益最大，ymax＝3萬元．