Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）已知點，為動直線與橢圓的兩個交點，問：在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，試求出點的坐標和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）存在定點，定值為.

【解析】

試題分析：（I）利用原點到直線的距離為列方程，聯立解方程組，求得，橢圓方程為；（II）先假設定點為.聯立直線點的方程和橢圓方程，斜率關于坐標的韋達定理，將此代入題設為定值，由此求得，代回原式求得定值為.

試題解析：

（1）由得，即①

又以原點為圓心，橢圓的長軸長為半徑的圓為

且與直線相切，

所以代入①得，

所以．所以橢圓的標準方程為

（2）由得

設、，所以，

根據題意，假設軸上存在定點，

使得為定值．

則

要使上式為定值，即與無關，，

得．

此時，，所以在軸上存在定點，使得為定值，且定值為．