Question

【題目】已知矩形的對角線交于點，邊所在直線的方程為，點在邊所在的直線上.

（1）求矩形的外接圓的方程；

（2）已知直線（），求證：直線與矩形的外接圓恒相交，并求出相交的弦長最短時的直線的方程.

Answer 1

【答案】解：（1）由且，點在邊所在的直線上

所在直線的方程是： 即由得

矩形ABCD的外接圓的方程是：

（2）直線的方程可化為：

可看作是過直線和的交點的直線系,即恒過定點由知點在圓內，所以與圓恒相交，

設與圓的交點為， 為到的距離）

設與的夾角為，則當時， 最大， 最短此時的斜率為的斜率的負倒數： ， 的方程為

即：

【解析】試題分析：由且點在邊所在的直線上得直線的方程，聯立直線方程得交點的坐標，則題意可知矩形外接圓圓心為，半徑，可得外接圓方程；（２）由可知恒過點，求得，可證與圓相交，求得與圓相交時弦長，經檢驗， 時弦長最短，可得，進而得，最后可得直線方程．

試題解析：（1）∵且，∴，點在邊所在的直線上，

∴所在直線的方程是，即．

由得．

∴，∴矩形的外接圓的方程是．

（2）證明：直線的方程可化為，

可看作是過直線和的交點的直線系，即恒過定點，

由知點在圓內，所以與圓恒相交，

設與圓的交點為（為到的距離），

設與的夾角為，則，當時， 最大， 最短．

此時的斜率為的斜率的負倒數，即，故的方程為，即．