Question

【題目】若函數，.

（Ⅰ）求的單調區間和極值；

（Ⅱ）證明：若存在零點，則在區間上僅有一個零點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調遞減區間是，單調遞增區間是；在處取得極小值；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求單調區間和極值，先求定義域，再求導數，在上，的解為，探討在和上的正負，確定的單調性，極值；（Ⅱ）首先由零點存在，知最小值，從而，因此在是單調遞減，且，因此結論易證．

試題解析：（Ⅰ）由，得

.

由解得.與在區間上的情況如下：

所以，的單調遞減區間是，單調遞增區間是；

在處取得極小值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區間上的最小值為.

因為存在零點，所以，從而.

當時，在區間上單調遞減，且，

所以是在區間上的唯一零點.

當時，在區間上單調遞減，且，，

所以在區間上僅有一個零點.

綜上可知，若存在零點，則在區間上僅有一個零點.