Question

【題目】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）若不等式對(duì)所有的正整數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及求和公式將條件化為關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，解得．(2)先化簡(jiǎn)不等式： ，再分奇偶討論：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ，最后根據(jù)基本不等式以及數(shù)列單調(diào)性確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)公差為，則，∴．

∴的通項(xiàng)公式為．

（Ⅱ）， ， ；

則原不等式等價(jià)于對(duì)所有的正整數(shù)都成立．

∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 恒成立

又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 的最小值為7，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 時(shí)， 的最小值為，

∴不等式對(duì)所有的正整數(shù)都成立時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范是