Question

【題目】已知函數.

（1）若是實數集上的奇函數，求的值；

（2）用定義證明在實數集上的單調遞增；

（3）若的值域為，且[，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）利用奇函數的定義，建立方程，即可求實數m的值；
（2）利用函數的單調性定義證明即可；
（3）由可得，即，解之即可.

（1）∵f（x）是R上的奇函數，

∴f（x）+f（﹣x）=m﹣+m﹣=0，

即2m﹣（ +）=02m﹣1=0，

解得m=.

（2）設 x1＜x2且x1，x2∈R，

則f（x1）﹣f（x2）=m﹣﹣（m﹣）=，

∵x1＜x2∴，

，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在R上單調遞增.

（3）由，所以m﹣1＜f（x）＜m，f（x）值域為D，

且，∴D=（m﹣1，m），

∵

∴，∴m的取值范圍是．