Question

【題目】已知函數f（x）=2cos2ωx+ sin2ωx（ω＞0）的最小正周期為π，給出下列四個命題：
①f（x）的最大值為3；
②將f（x）的圖象向左平移 后所得的函數是偶函數；
③f（x）在區間[﹣ ， ]上單調遞增；
④f（x）的圖象關于直線x= 對稱．
其中正確說法的序號是（ ）
A.②③
B.①④
C.①②④
D.①③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）=2cos2ωx+ sin2ωx（ω＞0），
=1+cos2ωx+ sin2ωx，
=2sin（2ωx+ ）+1，
f（x）的最小正周期為π，根據周期公式可知：ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+ ）+1，
由正弦函數性質可知，f（x）的最大值為3，故①正確；
將f（x）的圖象向左平移 后所得的函數為f（x）=2sin（2x+ ）+1，不是偶函數，故②錯誤；
令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，解得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，
∴x∈[kπ﹣ ，kπ+ ]，f（x）單調遞增，
∴f（x）在區間[﹣ ， ]上單調遞增，
故③正確；
令2x+ =kπ+ ，解得x= + ，f（x）的圖象關于直線x= 對稱，故④正確；
故答案選：D．
【考點精析】本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識點，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象才能正確解答此題．