Question

【題目】已知公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn ， 且S3=9，a1 ， a3 ， a7成等比數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）數列{bn}滿足bn=（an﹣1）2n ， 求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：等差數列{an}公差為d，首項為a1，

∵a1，a3，a7成等比數列．

∴a32=a1a7，

即（a1+2d）2=a1（a1+6d），

化簡得d= a1，或d=0（舍去）．

當d= a1，

由等差數列S3=3a2，

∴a2=3，得a1=2，d=1．

∴an=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即an=n+1，

數列{an}的通項公式an=n+1

（2）解：由（1）可知：an=n+1，

bn=（an﹣1）2n=（n+1﹣1）2n=n2n，

∴bn=n2n，

數列{bn}的前n項和Tn，Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n，

2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，

兩式相減：得﹣Tn=2+22+22+…+2n﹣n×2n+1，

=2n+1﹣2﹣n×2n+1，

∴Tn=（n﹣1）2n+1+2．

數列{bn}的前n項和Tn，Tn=（n﹣1）2n+1+2

【解析】（1）根據條件可知a32=a1a7 ， 即（a1+2d）2=a1（a1+6d），d和a1的關系，S3=3a2 ， 即可求得a1和d，數列{an}的通項公式；（2）求得數列{bn}的通項公式，采用乘以公比“錯位相減法”，即可求得數列{bn}的前n項和Tn ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等差數列的通項公式（及其變式）(通項公式：或)，還要掌握數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)的相關知識才是答題的關鍵．