Question

【題目】已知函數在其定義域內存在單調遞減區間．

（1）求f(x)的單調遞減區間；

（2）設函數，（e是自然對數的底數）．是否存在實數a，使g(x)在［a，－a］上為減函數？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）時，在上為減函數．

【解析】

（1）求導函數，對a進行分類討論，判斷導數的符號即可判斷單調區間。

（2）根據定義域，討論當a取不同范圍時，導數的符號；通過不等式恒成立即可求得a的范圍。

（1）．由題意知．

當時，的單調遞減區間為；

當時，的單調遞減區間為；

當時，的單調遞減區間為．

（2）由區間知．設，．

（i）當時，，由題意得在上單調遞減．

，

設，

即在區間上恒成立．

在上單調遞增，故，解得．

∴．

（ii）當時，，由（1）知在上單調遞減．

∴在上單調遞減，即在區間上恒成立．

由前述可知，在上單調遞減，在上單調遞增，∴，

化簡得，判別式小于0，恒成立．

另一方面，由，解得或．

∴．

綜上，當時，在上為減函數．