Question

【題目】已知函數.

(1)當時，求函數的單調區間；

(2)設，不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，在定義域單調遞減；當時，函數的單調遞增區間為，遞減區間為，； （2）.

【解析】

（1）求出函數的導數，分為和兩種情形，求出函數的單調區間即可；（2）問題等價于對任意的，恒有成立，即，根據，分離，從而求出的范圍即可．

(1)函數定義域為，且，

令，得，，

當時，，函數在定義域單調遞減；

當時，由，得；由，得或，

所以函數的單調遞增區間為，遞減區間為，.

綜上所述，

當時，在定義域單調遞減；

當時，函數的單調遞增區間為，遞減區間為，.

(2)由(1)知當時，函數在區間單調遞減，所以當時，，.

問題等價于：對任意的，恒有成立，即.

因為，則，∴，

設，則當時，取得最小值，

所以，實數的取值范圍是.