Question

【題目】已知函數，為實數.

(1)當時，求的最小值；

(2)若存在實數，使得對任意實數都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

（1）根據題意將二次函數配成頂點式,畫出函數圖像.通過對分類討論,即可確定在不同區間內的最小值.

（2）根據函數解析式,代入求得,再代入不等式中可得關于的二次不等式.構造函數,即分析對任意實數成立即可.由二次函數性質可知需滿足.得不等式組后,可利用求得的取值范圍.則在此范圍內有解即可.構造函數,即在時有解即可.根據二次函數的對稱、與y軸交點情況,分類討論即可求得n的取值范圍.

（1）函數

對應函數圖像如下圖所示:

(ⅰ)當即時,,

(ⅱ)當即時,,

(ⅲ)當時,.

綜上,

（2）因為

則

因為

代入得,變形可得

令,即對任意實數,成立

由二次函數性質可得,代入可得

關于t的不等式組有解即可,

解不等式可得

在上有解即可

令

因為,所以,所以函數與y軸交點位于y軸正半軸

(ⅰ)當對稱軸位于左側時,滿足即可,也就是,解不等式組可得,

(ⅱ)當對稱軸位于之間時,滿足即可,也就是,解得

(ⅲ)當對稱軸在右側時,即 時,函數在時無解.

綜上可知

又因為,

∴n的取值范圍是