Question

【題目】點為圓上一動點，軸于點，記線段的中點的運動軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）直線經過定點，且與曲線交于兩點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1

【解析】

（1）利用表示出，代入圓方程即可得到曲線方程；

（2）設直線方程為，代入橢圓方程得到韋達定理形式，利用弦長公式求得，利用點到直線距離公式求得原點到直線的距離，由可將所求面積表示為關于斜率的函數的形式，結合基本不等式求得函數的最小值，即為所求面積的最小值.

（1）設，，

為圓上一動點，軸于點，為的中點，，

則，代入得曲線的方程為：.

（2）由題意知：直線斜率存在，可設直線方程為：，

設，，

由消去得：，

由得：或，

，，

，

而原點到直線的距離為，

，（當且僅當，即時取等號），

的最大值為.