Question

以下結論正確的有

 

（寫出所有正確結論的序號）．
①奇函數的圖象必過坐標原點；
②

- a3

=-a

-a

；
③對于函數f（x）=

x

，x∈[0，1]當x₁≠x₂時，都有

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

）成立；
④若α為第二象限角，則

α

2

的終邊在第二或第三象限；
⑤若方程2ax²-1=0在（0，1）內恰有一解，則a的取值范圍是（

1

2

，+∞）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：①舉反例：函數f（x）=

1

x

（x∈R且x≠0）是奇函數，但是不過原點；
②由

- a3

可知a≤0；
③

f(x1)+f(x2)

2

=

x1 + x2

2

，f（

x1+x2

2

）=

x1+x2 2

，平方作差即可比較出大小；
④若α為第二象限角可得2kπ+

π

2

＜α＜2kπ+π，得到kπ+

π

4

＜

α

2

＜kπ+

π

2

（k∈Z），對k分奇數、偶數討即可得出；
⑤若方程2ax²-1=0在（0，1）內恰有一解，可得0＜

1

2a

＜1，解得a的取值范圍即可．

解答： 解：①奇函數的圖象必過坐標原點，不正確，例如函數f（x）=

1

x

（x∈R且x≠0）是奇函數，但是不過原點；
②由

- a3

可知a≤0，因此

-a3

=-a

-a

正確；
③對于函數f（x）=

x

，x∈[0，1]，當x₁≠x₂時，

f(x1)+f(x2)

2

=

x1 + x2

2

，f（

x1+x2

2

）=

x1+x2 2

，
∴(

x1 + x2

2

)2-(

x1+x2 2

)2=-(

x1 + x2

2

)2＜0，∴

x1 + x2

2

＜

x1+x2 2

，因此成立；
④∵α為第二象限角，∴2kπ+

π

2

＜α＜2kπ+π，∴kπ+

π

4

＜

α

2

＜kπ+

π

2

（k∈Z），對k分奇數、偶數討論即可得出：

α

2

的終邊在第一或第三象限，因此④不正確；
⑤若方程2ax²-1=0在（0，1）內恰有一解，∴0＜

1

2a

＜1，解得a的取值范圍是（

1

2

，+∞），正確．
綜上可知：只有②③⑤正確．
故答案為：②③⑤．

點評：本題考查了函數的單調性、奇偶性、根式的性質、方程的解等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．