Question

函數y=x+

3x-x2-2

的值域是

 

．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：先求的函數的定義域，根據y-x=

3x-x2-2

求得y的一個范圍，進而平方消根號，整理出關于x的一元二次方程，利用二次函數的性質求得y的范圍，最后綜合得到答案．

解答： 解：要使函數有意義需3x-x²-2≥0，求得1≤x≤2，
y-x=

3x-x2-2

≥0，①
∴y≥x≥1，②
對①式等號兩邊平方得（y-x）²=3x-x²-2，
整理得2x²-（3+2y）x+2+y²=0，
令f（x）=2x²-（3+2y）x+2+y²，f（1）=y²-2y+1≥0，
要使方程2x²-（3+2y）x+2+y²=0，在[1，2]范圍內有解，需

△=(3+2y)2-8(2+y2)≥0 1＜ 3+2y 4 ＜2

求得

1

2

＜y≤

3+ 2

2

，③
綜合②③得1≤y≤

3+ 2

2

，
故答案為：[1，

3+ 2

2

]．

點評：本題主要考查了函數的值域，二次函數的性質．運用了轉化與化歸的思想，利用二次函數的性質求值域．