Question

函數f（x）滿足對?x∈R，都有f（x+1）=f（-x+3），且函數f（x+1）為奇函數，如果f（0）=5，那么f（2014）=

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據奇函數的性質和條件求出函數的周期，再利用周期性和條件求出f（2014）的值．

解答： 解：∵函數f（x+1）為奇函數，∴f（x+1）=-f（-x+1），
∵滿足對?x∈R，都有f（x+1）=f（-x+3），
∴f（-x+3）=-f（-x+1），
令x取-x+1代入上式得，f（x+2）=-f（x），
令x取x+2代入上式得，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
則函數是周期函數，且周期是4，
又∵f（0）=5，f（x+2）=-f（x），
∴f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=-f（0）=-5，
故答案為：-5．

點評：本題考查了函數的奇偶性和周期性的綜合應用，主要利用賦值法進行求解，屬于中檔題．