Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，F(xiàn)分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點、右焦點，C上的點P滿足PF⊥x軸，射線AP交C的右準(zhǔn)線于點Q，若直線QA、QO、QF的斜率，依次成等差數(shù)列，則橢圓C的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出A，P，Q的坐標(biāo)，以及直線QA、QO、QF的斜率，根據(jù)等差數(shù)列的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：由橢圓的方程可得A（-a，0），F(xiàn)（c，0），準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

，
∵PF⊥x軸，∴P點的橫坐標(biāo)x=c，
由

c2

a2

+

y2

b2

=1，即y 2=b2(1-

c2

a2

)=

b4

a2

，解得y=

b2

a

，即P（c，

b2

a

），
設(shè)Q（

a2

c

，y），∵A，P，Q三點關(guān)系，
∴

b2 a -0

c+a

=

y-0

a2 c +a

，解得y=

b2

c

，即Q（

a2

c

，

b2

c

），
則直線QA、QO、QF的斜率的斜率分別為k_QA=

b2 c -0

a2 c +a

=

b2

a2+ca

，k_QO=

b2 c

a2 c

=

b2

a2

，k_QF=

b2 c -0

a2 c -c

=

b2

a2-c2

=

b2

b2

=1，
∵直線QA、QO、QF的斜率，依次成等差數(shù)列，
∴

b2

a2+ca

+1=2

b2

a2

，即

a2-c2

a(a+c)

+1=2•

a2-c2

a2

，
整理得

a-c

a

+1=2-

2c2

a2

，
即1-e+1=2-2e²，
即2e²=e，解得e=

1

2

，
故答案為：

1

2

點評：本題主要考查橢圓的離心率的計算，根據(jù)條件求出對應(yīng)點的坐標(biāo)和斜率是解決本題的關(guān)鍵，運算量較大，綜合性較強．