Question

已知橢圓C的長軸長為2

2

，一個焦點的坐標為（1，0）．直線l：y=kx與橢圓C交于A，B兩點，點P為橢圓上不同于A，B的任意一點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設l的斜率k=1，P為橢圓的右頂點．求△ABP的面積．
（Ⅲ）若直線AP，BP的斜率存在且分別為k₁，k₂．求k₁k₂．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的定義容易求得a，c，然后結合a²=b²+c²求出b，焦點在x軸上，所以方程可求；
（Ⅱ）S_△ABP=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

OB•|yA|+

1

2

OB|yB|=

1

2

a|yA-yB|，然后將直線方程代入橢圓方程，消去x，得到關于y的一元二次方程，其兩個根就是y_A，y_B，容易求得|y_A-y_B|，則面積可求；
（Ⅲ）將已知與所求坐標化，然后化簡．注意到橢圓的對稱性、直線y=kx過原點和橢圓相交，則A，B兩點橫縱坐標分別互為相反數，同時將P點坐標給出來，再將k₁，k₂用A，B，P坐標表示，然后將k₁k₂表示出來進行化簡即可，注意消元．

解答： 解：（Ⅰ）長軸長為2

2

，一個焦點的坐標為（1，0），
∴a=

2

，c=1，且焦點在x軸上，
∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由已知直線l方程為y=x，
代入

x2

2

+y2=1后化簡得
y=

6

3

或-

6

3

，
∴S_△ABP=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

OB•|yA|+

1

2

OB|yB|=

1

2

a|yA-yB|
=

1

2

×

2

×

2 6

3

=

2 3

3

；
（Ⅲ）由橢圓的對稱性且y=kx過原點，不妨設A（x，y），B（-x，-y），P（m，n），
∴k₁k₂=

n-y

m-x

•

n+y

m+x

=

n2-y2

m2-x2

①，
又

x2

2

+y2=1，

m2

2

+n2=1，
∴①=

(1- m2 2 )-(1- x2 2 )

m2-x2

=

- 1 2 (m2-x2)

m2-x2

=-

1

2

．
∴k1k2=-

1

2

．

點評：第（1）（2）問屬常規題型，較為簡單；第三問先把k₁，k₂坐標化，充分注意到A，B兩點的對稱性消元，再利用橢圓方程消元，最后將k₁k₂化簡求值．