Question

給出下列命題：
①向量

AB

與

CD

是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；
②已知

e

是單位向量，且|

a

+

e

|=|

a

-2

e

|，則

a

在

e

方向上的投影為

1

2

；
③若S_n是等差數列{a_n}的前n項和，則三點（10，

S10

10

）、（100，

S100

100

、（110，

S110

110

）共線；
④若S_n是等差數列{a_n}的前n項和，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，則S₁、S₂、…、S_n這n個數中必然存在一個最大值；
其中正確命題的是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：等差數列與等比數列,平面向量及應用

分析：由共線向量的概念，即可判斷①；兩邊平方，運用向量的模等于向量的平方，以及向量的數量積的定義和投影的概念，即可判斷②；由等差數列的求和公式，推出數列{

Sn

n

}是等差數列，由圖象即可判斷③；求出通項公式，判斷數列的單調性，求出最值，即可判斷④．

解答： 解：①向量

AB

與

CD

是共線向量，則它們的起點不一定相同，故A，B，C，D不一定共線，故①錯；
②已知

e

是單位向量，且|

a

+

e

|=|

a

-2

e

|，則兩邊平方得，

a

•

e

=

1

2

，|

a

|•cosθ=

1

2

，即

a

在

e

方向上的投影為

1

2

，故②正確；
③若S_n是等差數列{a_n}的前n項和，則Sn=na₁+

n(n-1)

2

d，

Sn

n

=a₁+

d

2

（n-1），即數列{

Sn

n

}是等差數列，則它們表示的圖象是一直線上孤立的點，故三點（10，

S10

10

）、（100，

S100

100

、（110，

S110

110

）共線；即③正確；
④若S_n是等差數列{a_n}的前n項和，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，則由通項公式得，2a₁+8d=-6，d=2，則數列{a_n}是遞增的數列，且a_n=2n-13，a₆＜0，a₇＞0，故S₆最小，故④錯．
故答案為：②③

點評：本題以命題的真假為載體，考查平面向量的關系和向量的數量積的定義及向量的投影，同時考查等差數列的通項和求和公式，及數列的單調性和最值問題，是一道綜合題．