Question

【題目】已知函數，(是自然對數的底數).

（1）求的單調區間；

（2）若函數，證明：有極大值，且滿足.

Answer 1

【答案】（1）函數的減區間為，增區間為.（2）證明見解析

【解析】

（1）直接求出函數的導函數，令，解得，即可求出函數的單調區間；

（2）首先求出的導函數，設，再對求導，說明其單調性，根據函數零點存在性定理可得在上存在極大值；

解：（1），設，，

∴當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增. 即函數的減區間為；增區間為.

（2）因為，

設，且

∵， 在時，，所以在上單調遞增，

∴.

∴，在上是單調遞增，∴沒有極值.

令，解得. 在時，，單調遞減，

∴，. 由根的存在性定理：設，使得：，

即.

∵在，，∴單調遞增； 在，

，∴單調遞減；∴有極大值.∵有. 又∵，

∴，

.

綜上可得：函數有極大值，且滿足.