Question

【題目】已知函數f(x)=sin2xsin2x.

（1）討論f(x)在區間(0，π)的單調性；

（2）證明：；

（3）設n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.

Answer 1

【答案】（1）當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增.（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

(1)首先求得導函數的解析式，然后由導函數的零點確定其在各個區間上的符號，最后確定原函數的單調性即可；

(2)首先確定函數的周期性，然后結合(1)中的結論確定函數在一個周期內的最大值和最小值即可證得題中的不等式；

(3)對所給的不等式左側進行恒等變形可得，然后結合(2)的結論和三角函數的有界性進行放縮即可證得題中的不等式.

(1)由函數的解析式可得：，則：

，

在上的根為：，

當時，單調遞增，

當時，單調遞減，

當時，單調遞增.

(2)注意到，

故函數是周期為的函數，

結合(1)的結論，計算可得：，

，，

據此可得：，，

即.

(3)結合(2)的結論有：

.