Question

【題目】已知為等差數列，各項為正的等比數列的前項和為，，，__________.在①；②；③這三個條件中任選其中一個，補充在橫線上，并完成下面問題的解答（如果選擇多個條件解答，則以選擇第一個解答記分）.

（1）求數列和的通項公式；

（2）求數列的前項和.

Answer 1

【答案】（1）選①：，；選②：，；選③：，；（2）選①：；選②：；選③：

【解析】

（1）根據所選條件，建立方程組，求解基本量，進而可得通項公式；

（2）根據通項公式的特點，選擇錯位相減法進行求和.

選①解：

（1）設等差數列的公差為，

∵，∴，∴，，

∴，

由，

當時，有，則有，即

當時，，

即，所以是一個以2為首項，2為公比的等比數列.

∴.

（2）由（1）知，

∴，①

，②

①-②得：，

∴.

選②解：

（1）設等差數列的公差為，

∵，∴，∴，

∴，

∴，

設等比數列的公比為，

∵，

∴，

又∵，∴，解得，或（舍），

∴.

（2）由（1）可知，

∴，

，②

①-②得：，

∴.

選③解：

（1）設等差數列的公差為，

∵，∴，∴，，

∴，

∵，，

令，得，即，∴，∴，

∴；

（2）解法同選②的第（2）問解法相同.