Question

【題目】已知數列{an}為等比數列，其前n項和為Sn ， 已知a1+a4=﹣ ，且對于任意的n∈N*有Sn ， Sn+2 ， Sn+1成等差數列；
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）已知bn=n（n∈N+），記 ，若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）對于n≥2恒成立，求實數m的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數列{an}的公比為q，

∵對于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差，

∴2 ．

整理得： ．

∵a1≠0，∴，2+2q+2q2=2+q．

∴2q2+q=0，又q≠0，∴q= ．

又 ，

把q= 代入后可得 ．

所以， ；

（2）解：∵bn=n， ，∴ ，

∴ ．

．

∴ =

∴ ．

若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）對于n≥2恒成立，

則（n﹣1）2≤m[（n﹣1）2n+1+2﹣n﹣1]對于n≥2恒成立，

也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）（2n+1﹣1）對于n≥2恒成立，

∴m≥ 對于n≥2恒成立，

令 ，

∵ =

∴f（n）為減函數，∴f（n）≤f（2）= ．

∴m ．

所以，（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）對于n≥2恒成立的實數m的范圍是[ ）．

【解析】（1）設出等比數列的公比，利用對于任意的n∈N+有Sn ， Sn+2 ， Sn+1成等差得2S3=S1+S2 ， 代入首項和公比后即可求得公比，再由已知 ，代入公比后可求得首項，則數列{an}的通項公式可求；（2）把（1）中求得的an和已知b=n代入 整理，然后利用錯位相減法求Tn ， 把Tn代入（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）后分離變量m，使問題轉化為求函數的最大值問題，分析函數的單調性時可用作差法．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．