Question

【題目】設點，動圓經過點且和直線相切，記動圓的圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設曲線上一點的橫坐標為，過的直線交于另一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點.若是的切線，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據拋物線的定義，求出拋物線的解析式即可；（2）求出直線的方程，求出的坐標，聯立方程組，求出的坐標，求出直線的斜率，得到關于的不等式，求出的范圍即可．

試題解析：（1）過點作直線垂直于直線于點，由題意得，

所以動點的軌跡是以為焦點、直線為準線的拋物線.

所以拋物線的方程為.

（2）由題意知，過點的直線斜率存在且不為0，設其為.

則，當，則.

聯立方程，整理得： .

即： ，解得或.

∴，而，∴直線斜率為.

∴ ，

聯立方程，

整理得： ，

即： ， ，

解得： ，或.

∴

∴ .

而拋物線在點處切線斜率： ，

是拋物線的切線， ∴，

整理得，

∴，解得 (舍去)，或，∴.