Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．

（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以D為坐標原點，

分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

設PD=DC=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

=（2，0，﹣2）， =（0，1，1）， ，

設 是平面BDE的一個法向量，

則由 ，得 ，

取y=﹣1，得 ．

∵ =2﹣2=0，∴ ，

又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，

（2）解：由（1）知 =（1，﹣1，1）是平面BDE的一個法向量，

又 = =（2，0，0）是平面DEC的一個法向量．

設二面角B﹣DE﹣C的平面角為θ，

∴cosθ=cos＜ ， ＞= ．

故二面角B﹣DE﹣C的余弦值為 ．

（3）解：∵ =（2，2，﹣2）， =（0，1，1），

∴ =0，∴PB⊥DE，

假設棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設 ，（0＜λ∠1），

則 =（2λ，2λ，﹣2λ）， = =（2λ，2λ，2﹣2λ），

由 =0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，

∴ ∈（0，1），此時PF= ，

即在棱PB上存在點F，PF= ，使得PB⊥平面DEF．

【解析】（1）以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PA∥平面BDE．（2）由已知求出平面BDE的一個法向量和平面DEC的一個法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假設棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設 ，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在點F，PF= ，使得PB⊥平面DEF．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．