Question

【題目】設函數f（x）＝|x﹣a|+|x+b|，ab＞0.

（1）當a＝1，b＝1時，求不等式f（x）＜3的解集；

（2）若f（x）的最小值為2，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）{x|}（2）

【解析】

（1）原不等式等價于|x﹣1|+|x+1|＜3，然后對x分類去絕對值，化為關于x的一元一次不等式求解，取并集得答案；

（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|b+a|，當且僅當（x﹣a）（x+b）≤0時等號成立.可得f（x）的最小值為|b+a|＝2.結合ab＞0，得|b+a|＝|a|+|b|＝2，則，展開后利用基本不等式求最值.

（1）原不等式等價于|x﹣1|+|x+1|＜3，

當x≥1時，可得x﹣1+x+1＜3，解得1≤x；

當﹣1＜x＜1時，可得﹣x+1+x+1＜3，得2＜3成立；

當x≤﹣1時，可得﹣x+1﹣x﹣1＜3，解得x≤﹣1.

綜上所述，原不等式的解集為{x|}；

（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|b+a|，當且僅當（x﹣a）（x+b）≤0時等號成立.

∴f（x）的最小值為|b+a|，即|b+a|＝2.

又∵ab＞0，∴|b+a|＝|a|+|b|＝2，

∴

.

當且僅當時，等號成立，

∴的最小值為.