Question

【題目】如圖，三棱柱中，平面平面，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若與平面所成的線面角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由平面ACC1A1⊥平面ABC，結合面面垂直的性質可得BC⊥A1C，再由B1C1∥BC，得A1C⊥平面AB1C1；（2）取AC中點M，連接A1M，由已知可得A1M⊥AC，且，令AA1＝AC＝2CB＝2，則．以C為坐標原點，分別以CA，CB所在直線為x，y軸，過C且平行于A1M 的直線為z軸建立空間直角坐標系．分別求出平面ACB1 與平面A1B1C的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角C1﹣AB1﹣C的余弦值．

（1）因為平面平面，平面平面，

平面，，所以平面，

因為平面，所以.

因為，所以.

因為是平行四邊形，且，所以是菱形，.

因為，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）取的中點，連接，因為是菱形，，

所以是正三角形，所以，且.

令，則.

所以以為原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，過點且平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，，，

，.

設平面的一個法向量為，則，

所以，得，令，則，所以.

由（1）知平面，所以是平面的一個法向量，

所以.

所以二面角的余弦值為.