Question

【題目】已知函數，其中.

（1）當時，求證：過原點且與曲線相切的直線有且只有一條；

（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1) 根據導數的幾何意義，求出函數上任意一點處的切線方程，根據過原點知有唯一解即可求證；

(2) 構造函數，求導后再分類討論，根據導數和函數的單調性和最值的關系即可求出a的范圍.

（1）函數的導函數為.

曲線上任意一點處的切線方程為.

此切線過原點當且僅當，即.

當，則方程有且只有一個解，

曲線在原點處的切線過原點.

綜上所述，無論取什么值，過原點且與曲線相切的直線都有且只有一條，即直線.

（2）令，

則.

①若，則，故在上單調遞增.

因此，當時，；

②若，則.

當時，，.

令，則.

而當時，，，于是：

若，則，故在上單調遞增.

因此，當時，，進而，

故在上單調遞增.

因此，當時，；

若，則存在，使得.

當時，，

，故在上單調遞減.

因此，當時，，進而，

故在上單調遞減.

因此，當時，.

綜上所述，實數的取值范圍為.