Question

【題目】給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；

（2）點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點.

①當點為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明；

②求證：線段的長為定值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓方程為，準圓方程為；（2）①，證明見解析；②證明見解析

【解析】

（1）根據題意，得到橢圓方程和準圓方程.

（2）（ⅰ）設直線為，聯立方程計算得到，得到答案.

（ⅱ）考慮斜率存在和不存在兩種情況，設點，切線為，聯立方程得到，，得到直線垂直，得到線段為準圓的直徑，得到答案.

（1），橢圓方程為，準圓方程為.

（2）（ⅰ）因為準圓與軸正半軸的交點為，

設過點且與橢圓相切的直線為，

所以由得.

因為直線與橢圓相切，所以，解得，

所以方程為，，.

（ⅱ）①當直線中有一條斜率不存在時，不妨設直線斜率不存在，

則：，當：時，與準圓交于點，

此時為（或），顯然直線垂直；

同理可證當：時，直線垂直

②當斜率存在時，設點，其中.

設經過點與橢圓相切的直線為，

所以由得.

由化簡整理得，

因為，所以有.

設的斜率分別為，因為與橢圓相切，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.

綜合①②知：因為經過點，又分別交其準圓于點，且垂直.

所以線段為準圓的直徑，，

所以線段的長為定值6.