Question

【題目】已知⊙M過點，且與⊙N：內切，設⊙M的圓心M的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程：

（2）設直線l不經過點且與曲線C相交于P，Q兩點．若直線PB與直線QB的斜率之積為，判斷直線l是否過定點，若過定點，求出此定點坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，直線l過定點

【解析】

（1）由兩圓相內切的條件和橢圓的定義，可得曲線C的軌跡方程；

（2）設直線BP的斜率為，則BP的方程為，聯立橢圓方程，解得交點P，同理可得Q的坐標，考慮P，Q的關系，運用對稱性可得定點．

解：（1）設⊙M的半徑為R，因為圓M過，且與圓N相切

所以，即，

由，所以M的軌跡為以N，A為焦點的橢圓．

設橢圓的方程為1（a＞b＞0），則2a＝4，且c，

所以a＝2，b＝1，所以曲線C的方程為y2＝1；

（2）由題意可得直線BP，BQ的斜率均存在且不為0，

設直線BP的斜率為，則BP的方程為y＝kx+1，聯立橢圓方程，

可得，解得

則，

因為直線BQ的斜率為，

所以同理可得，

因為P，Q關于原點對稱，（或求得直線l的方程為）

所以直線l過定點