Question

【題目】已知圓點(diǎn)，直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上且滿(mǎn)足.若，則弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，易求得；②當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，利用直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)可求得；將直線(xiàn)方程與圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式；根據(jù)和可整理得到，，，滿(mǎn)足的方程，代入韋達(dá)定理的結(jié)論整理可得；當(dāng)時(shí)，知；當(dāng)時(shí)，可將表示為關(guān)于的函數(shù)，利用對(duì)號(hào)函數(shù)的性質(zhì)可求得值域，即為所求的范圍；綜合兩類(lèi)情況可得最終結(jié)果.

設(shè)，

①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為，此時(shí)，，

，，，，

滿(mǎn)足，此時(shí)；

②當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，

與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，即，

由得：，

設(shè)，，

則，，

，

.

，，解得：，

由得：，

整理得：，

，整理得：，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，代入式得：，

解得：，

，

，，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，

，

綜上所述：弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為.

故答案為：.