Question

【題目】已知函數f（x）=ax﹣lnx；g（x）= ．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）求證：若a=e（e是自然常數），當x∈[1，e]時，f（x）≥e﹣g（x）恒成立；
（3）若h（x）=x2[1+g（x）]，當a＞1時，對于x1∈[1，e]，x0∈[1，e]，使f（x1）=h（x0），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax﹣lnx，∴x＞0， ，

∵x＞0，

∴當a≤0時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是減函數，

當a＞0時，若x＞ ，則f′（x）＞0，∴f（x）在（ ，+∞）上是增函數，

若0＜x＜ ，則f′（x）＜0，∴f（x）在（0， ）上是減函數．

綜上所述，當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上是減函數，

當a＞0時，f（x）在（ ，+∞）上是增函數，在（0， ）上是減函數．

（2）證明：當a=e時，f（x）=ex﹣lnx，

∴ ，∴x∈[1，e]時，f′（x）＞0恒成立．

f（x）=ex﹣lnx在[1，e]上是單調遞增函數，∴f（x）min=f（1）=e，

令H（x）=e﹣g（x）=e﹣ ，則H′（x）= ，x∈[1，e]時，H′（x）≤0，

∴H（x）在[1，e]上單調遞減，H（x）max=H（1）=e，

∴f（x）≥H（x），即f（x）≥e﹣g（x）．

故a=e（e是自然常數），當x∈[1，e]時，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．

（3）解：∵ ，a＞1時，由x∈[1，e]，得f′（x）＞0，

∴f（x）=ax﹣lnx在[1，e]上單調遞增，

f（x）min=f（1）=a，f（x）max=f（e）=ae﹣1，即f（x）的值域是[a，ae﹣1]，

由h（x）=x2+1﹣lnx，得 ，∴x∈[1，e]時，h′（x）＞0，

h（x）在[1，e]上單調遞增，

∴h（x）min=h（1）=2，h（x）max=h（e）=e2，即h（x）的值域是[2，e2]，

x1∈[1，e]，x0∈[1，e]，有f（x1）=h（x0），

∴f（x）的值域是h（x）的值域的子集，

∴ ，∴ ．

∴a的取值范圍是[2，e+ ]．

【解析】（1）推導出 ，由此利用導數性質能討論函數f（x）的單調性．（2）當a=e時，f（x）=ex﹣lnx， ，由此利用構造法和導數性質能證明a=e（e是自然常數），當x∈[1，e]時，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．（3）由 ，a＞1時，求出f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由此利用導數性質能求出a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．