Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面， ， ， ， ， ， .

（I）求異面直線與所成角的余弦值；

（II）求證： 平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）.

【解析】試題分析：本小題主要考查兩條異面直線所成的角、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識.求兩條異面直線所成的角，首先要借助平行線找出異面直線所成的角，然后借助解三角形求出角，證明線面垂直只需尋求線線垂直，求線面角首先利用轉化思想尋求直線與平面所成的角，本題作 是一步重要的轉化，尋求斜線、垂線，斜足、垂足、斜線在平面內的射影，找到線面角后利用三角形邊角關系求出線面角.求線面角也可轉化為點到平面的距離“盲求”.

考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.

試題解析：（Ⅰ）如圖，由已知AD//BC，學|科網故或其補角即為異面直線AP與BC所成的角.因為AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.

所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為.

（Ⅱ）證明：因為AD⊥平面PDC，直線PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因為BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.

（Ⅲ）解：過點D作AB的平行線交BC于點F，連結PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.

因為PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.

所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.