Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形， 為BC的中點，連接AE，BD，交點H，PH⊥平面ABCD，M為PD的中點．
（1）求證：平面MAE⊥平面PBD；
（2）設PE=1，求二面角M﹣AE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在矩形ABCD中，

∵△ABE～△DAB，

∴∠BAE=∠DAB，

∴∠BAB+∠ABD= ，∴BH⊥AE，

∵PH⊥平面ABCD，AE平面ABCD，

∴PH⊥AE，又∵BH∩PH=H，

BH，PH平面BPD，又∵AE平面MAE，

∴平面MAE⊥平面PBD．

（2）解：（2）由（1）知，HB，HE，HP兩兩垂直，

分別以HB，HE，HP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則A（0，﹣ ，0），E（0， ，0），P（0，0， ），C（﹣ ， ，0），

D（﹣ ，0，0），M（﹣ ，0， ），

=（ ， ，﹣ ）， =（ ，﹣ ，﹣ ），

設MAE的法向量 =（x，y，z），

則 ，

取x=1，得 =（1，0，4），

平面AEC的法向量 =（0，0，1），

設二面角M﹣AE﹣C的平面角為θ，

則cosθ= = = ，

∴二面角M﹣AE﹣C的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出BH⊥AE，PH⊥AE，從而AE⊥平面BPD，由此能證明平面MAE⊥平面PBD．（2）由HB，HE，HP兩兩垂直，分別以HB，HE，HP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M﹣AE﹣C的余弦值．
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．