Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+ ﹣1，a∈R．
（1）若關于x的不等式f（x）≤ x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）設函數g（x）= ，若g（x）在[1，e2]上存在極值，求a的取值范圍，并判斷極值的正負．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）≤ x﹣1，即lnx+ ﹣1≤ x﹣1，

即a≤﹣xlnx﹣ x2在[1，+∞）上恒成立，

設函數m（x）=﹣xlnx﹣ x2，x≥1，

m′（x）=﹣lnx+x﹣1，設n（x）=﹣lnx+x﹣1，

n′（x）=﹣ +1，由x≥1時，n′（x）≥0，

∴n（x）在[1，+∞）單調遞增，且n（x）≥n（1）=0，

即m′（x）≥m′（1）=0，對x∈[1，+∞）恒成立，

∴m（x）在[1，+∞）上單調遞增，

當x∈[1，+∞）時，m（x）≥m（x）min=m（1）= ，

∴a≤ ，

∴a的取值范圍是（﹣∞， ]

（2）解：g（x）= = + ﹣ ，x∈[1，e2]，

求導g′（x）= + ﹣ = ，

設h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，

由h′（x）=0，解得：x=e，

當1≤x＜e時，h′（x）＞0，當e＜x≤e2，h′（x）＜0，

且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，

顯然h（1）＞h（e2），

若g（x）在[1，e2]上存在極值，

則 或 ，

當 ，即1＜a＜ 時，

則必定存在x1，x2∈[1，e2]，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，

當x變化時，h（x），g′（x），g（x）的變化如表，

x	（1，x1）	<>x1	（x1，x2）	x2	（x1，e2）
h（x）	﹣	0	+	0	﹣
g′（x）	﹣	0	+	0	﹣
g（x）	↓	極小值	↓	極小值	↓

當1＜a＜ 時，g（x）在[1，e2]上的極值為g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），

由g（x1）= + ﹣ = ，

設φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜ ，1≤x＜e，

則φ′（x）=lnx＞0，

∴φ（x）在（1，e）上單調遞增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，

當且僅當x=1時，取等號；

∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，

當1＜a＜ ，g（x）在[1，e2]上的極值g（x2）＞g（x1）＞0，

當 ，即0＜a≤1時，

則必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，

易知g（x）在（1，x3）上單調遞增，在（x3，e2]上單調遞減，

此時，g（x）在[1，e2]上的極大值時g（x3），即g（x3）＞g（e2）= ＞0，

當0＜a≤1時，g（x）在[1，e2]上存在極值，且極值都為正數，

綜上可知：當0＜a＜ 時，g（x）在[1，e2]上存在極值，且極值都為正數

【解析】（1）由題意可知a≤﹣xlnx﹣ x2在[1，+∞）上恒成立，構造輔助函數，求導根據函數的單調性及極值的判斷，即可求得m（x）在[1，+∞）上單調遞增，即可求得a的取值范圍；（2）g（x）= = + ﹣ ，x∈[1，e2]，若g（x）在[1，e2]上存在極值，則 或 ，分類討論，分別構造輔助函數，根據導數與函數的關系，即可求得a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．