Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）若曲線與曲線在公共點處有共同的切線，求實數的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試問函數是否有零點？如果有，求出該零點；若沒有，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）無零點.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設曲線與曲線公共點為則由，，即可求的值；

（Ⅱ）函數是否有零點，轉化為函數與函數在區間是否有交點，求導根據函數單調性可知最小值為，最大值為，從而無零點

試題解析：

（Ⅰ）函數的定義域為，，

設曲線與曲線公共點為

由于在公共點處有共同的切線，所以，解得，.

由可得.

聯立解得.

（Ⅱ）函數是否有零點，

轉化為函數與函數在區間是否有交點，

，可得，

令，解得，此時函數單調遞增；

令，解得，此時函數單調遞減.

∴當時，函數取得極小值即最小值，.

可得，

令，解得，此時函數單調遞增；

令，解得，此時函數單調遞減.

∴當時，函數取得極大值即最大值，.

因此兩個函數無交點.即函數無零點.