【題目】已知函數
.
(1)求函數
的單調區間；
(2)若存在
，使
成立，求整數
的最小值.
【答案】（1）當
時，
，
單調遞增，當
時， 單調遞減；當
時，在
上單調遞增，在
上單調遞減；當
時，在
上單調遞減； （2）
.
【解析】試題分析：(1)求導，分類討論
時三種情況的單調性(2)分離含參量
，構造新函數，
，求導算出零點的范圍，從而求出結果
解析：（1）由題意可知，
，
，
方程
對應的
，
當
，即時，當
時，
，
∴在上單調遞減；
當
時，方程的兩根為
，
且
，
此時，在
上
，函數單調遞增，
在
上
，函數單調遞減；
當時，
，
，
此時當
，單調遞增，
當
時，，單調遞減；
綜上：當時，
，單調遞增，當時， 單調遞減；
當時，在
上單調遞增，
在上單調遞減；
當時，在上單調遞減；
（2）原式等價于
，
即存在
，使成立．
設，，
則
，
設
，
則
，∴
在
上單調遞增．
又
，根據零點存在性定理，可知在上有唯一零點，設該零點為
， 則
，且
，即
，
∴
由題意可知
，又，
，∴
的最小值為.
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【題目】已知拋物線
：
（
）的焦點是橢圓
：
（
）的右焦點，且兩曲線有公共點
（1）求橢圓的方程；
（2）
為坐標原點，
，
，是橢圓上不同的三點，并且為
的重心，試探究的面積是否為定值.若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】傳承傳統文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏.將中學組和大學組的參賽選手按成績分為優秀、良好、一般三個等級，隨機從中抽取了100名選手進行調查，下面是根據調查結果繪制的選手等級人數的條形圖.
（1）若將一般等級和良好等級合稱為合格等級，根據已知條件完成下面的
列聯表，據此資料你是否有95%的把握認為選手成績“優秀”與文化程度有關？
優秀 | 合格 | 合計 | |
大學組 | |||
中學組 | |||
合計 |
注：
，其中
.
| 0.10 | 0.05 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 7.879 |
（2）若參賽選手共6萬人，用頻率估計概率，試估計其中優秀等級的選手人數.
（3）在優秀等級的選手中取6名，依次編號為1，2，3，4，5，6.在良好等級的選手中取6名，依次編號為1，2，3，4，5，6，在選出的6名優秀等級的選手中任取一名，記其編號為
，求使得方程組
有唯一一組實數解
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某班的50名學生進行不記名問卷調查，內容為本周使用手機的時間長，如表：
時間長（小時） |
|
|
|
|
|
女生人數 | 4 | 11 | 3 | 2 | 0 |
男生人數 | 3 | 17 | 6 | 3 | 1 |
（1）求這50名學生本周使用手機的平均時間長；
（2）時間長為
的7名同學中，從中抽取兩名，求其中恰有一個女生的概率；
（3）若時間長為
被認定“不依賴手機”，
被認定“依賴手機”，根據以上數據完成
列聯表：
不依賴手機 | 依賴手機 | 總計 | |
女生 | |||
男生 | |||
總計 |
能否在犯錯概率不超過0.15的前提下，認為學生的性別與依賴手機有關系？
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式：
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
.
（Ⅰ）若曲線
與曲線
在公共點處有共同的切線，求實數
的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試問函數
是否有零點？如果有，求出該零點；若沒有，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右頂點為
，上頂點為
，離心率
， 
為坐標原點，圓
與直線
相切.
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）已知四邊形
內接于橢圓
.記直線
的斜率分別為
，試問
是否為定值？證明你的結論.
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