Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，．

（1）求證：；

（2）若分別為的中點，平面，求直線與平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：本題主要考查線面垂直的判定與性質、二面角的求解等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，利用線面垂直的判定定理，先證出平面，利用線面垂直的性質定理得，在中再證明；第二問，先證明兩兩垂直，從而建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，再求直線與平面所成角的正弦值，最后確定角.

試題解析：（1）連接，，，交于點，

因為底面是正方形，

所以且為的中點.

又

所以平面，

由于平面,故.

又,故.

解法1：

設的中點為,連接,∥=,

所以為平行四邊形，∥，

因為平面，

所以平面，

所以,的中點為,

所以.

由平面，又可得，

又，又

所以平面

所以,又,

所以平面

（注意：沒有證明出平面，直接運用這一結論的，后續過程不給分）

由題意,兩兩垂直， ,以為坐標原點,向量的方向為軸軸軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,則

為平面的一個法向量.

設直線與平面所成角為，

所以直線與平面所成角為.

解法2：設的中點為,連接,則∥=,

所以為平行四邊形，∥，

因為平面，

所以平面，

所以,

的中點為,所以.

同理，又，又

所以平面

所以,又,

所以平面

連接、，設交點為，連接，設的中點為，連接，

則在三角形中，∥，所以平面，

又在三角形中，∥，

所以即為直線與平面所成的角.

又,,

所以在直角三角形中,,

所以,直線與平面所成的角為.