Question

【題目】已知是拋物線的焦點，關于軸的對稱點為，曲線上任意一點滿足；直線和直線的斜率之積為.

（1）求曲線的方程；

（2）過且斜率為正數的直線與拋物線交于兩點，其中點在軸上方，與曲線交于點，若的面積為的面積為，當時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】【試題分析】(1)根據焦點求得的值和的坐標,設利用建立方程,化簡后得到曲線的軌跡方程,注意排除分母為零的點.(2)設出直線的方程,將直線方程代入曲線的方程,求得的坐標,根據面積比求得點的坐標,將點的坐標代入拋物線方程,可求得直線的斜率,即求出直線的方程.

【試題解析】

（1）由題意可知：，設曲線上任意一點坐標，則：

，又，∴，

整理得：，所以曲線的方程為：；

（2）是拋物線的焦點，∴，則拋物線的方程為，

設直線的方程為，將直線的方程代入曲線方程，整理得：，∴，∴，

∴，又因為，可得：，∴，

又因為在拋物線上，，整理得：，

又，∴，∴直線的方程為：，