Question

【題目】已知函數，其中．

（Ⅰ）函數的圖象能否與軸相切？若能，求出實數a，若不能，請說明理由；

（Ⅱ）求最大的整數，使得對任意，不等式

恒成立．

Answer 1

【答案】（1）不能（2）

【解析】試題分析：

（Ⅰ）假設函數的圖象能與軸相切．設切點為，根據導數的幾何意義得到關于的方程，然后判斷此方程是否有解即可得到結論．（Ⅱ）將不等式變形為,設，則問題等價于對任意恒成立，故只需函數在R上單調遞增，因此在R上恒成立即可，由可得

，即為成立的必要條件，然后再證時，即可得到結論．

試題解析：

（Ⅰ）∵，

∴．

假設函數的圖象與軸相切于點，

則有， 即．

顯然，將代入方程中可得．

∵，

∴方程無解．

故無論a取何值，函數的圖象都不能與軸相切．

（Ⅱ）由題意可得原不等式可化為，

故不等式在R上恒成立．

設，則上式等價于，

要使對任意恒成立，

只需函數在上單調遞增，

∴在上恒成立．

則，解得，

∴在上恒成立的必要條件是：．

下面證明：當時，恒成立．

設，則，

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．

∴，即．

則當時，，；

當時，，．

∴恒成立．

所以實數的最大整數值為3．