Question

【題目】已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上.

（1)求圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線截圓所得弦長(zhǎng)為，求直線的方程.

（3）若直線與圓相切，且與，軸的正半軸分別相交于，兩點(diǎn)，求的面積最小時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

（1)由題意，可得的垂直平分線方程為，聯(lián)立方程組求得圓心，進(jìn)而求得圓的方程；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，得到直線方程，利用圓心到直線的距離和圓的垂徑定理，求得，得出直線的方程；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證直線的方程為，滿足題意，即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)直線l的方程為，根據(jù)與圓相切，利用三角形的面積，結(jié)合基本不等式，求得的值，即可得到答案.

（1)由題意，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，直線的斜率為，

可得的垂直平分線方程為，

聯(lián)立方程組，解答，即圓心坐標(biāo)為，

所以半徑為 ，所以圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，

因?yàn)橹本�過點(diǎn)，所以直線的方程為，即，

則圓心到直線的距離，

由垂徑定理，，解得，

則直線的方程為，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，滿足題意，

所以直線的方程為或.

（3）設(shè)直線l的方程為：，

因?yàn)?/span>與軸的正半軸分別相交于兩點(diǎn)，

所以，且，

又與圓相切，則點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑2，

即，①，

又由 ②

將①代入②得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的面積最小，

此時(shí)，

所以直線的方程為：.