Question

【題目】設函數f（x）＝x2+bln（x+1），其中b≠0．

（1）若b＝﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；

（2）如果f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4﹣12ln3（2）

【解析】

（1）當b＝﹣12時令由得x＝2則可判斷出當x∈[1，2）時，f（x）單調遞減；當x∈（2，3]時，f（x）單調遞增故f（x）在[1，3]的最小值在x＝2時取得；

（2）要使f（x）在定義域內既有極大值又有極小值即f（x）在定義域內與X軸有三個不同的交點即使在（﹣1，+∞）有兩個不等實根即2x2+2x+b＝0在（﹣1，+∞）有兩個不等實根這可以利用一元二次函數根的分布可得解之求b的范圍．

解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（1，+∞）

b＝﹣12時，由，得x＝2（x＝﹣3舍去），

當x∈[1，2）時f′（x）＜0，當x∈（2，3]時，f′（x）＞0，

所以當x∈[1，2）時，f（x）單調遞減；當x∈（2，3]時，f（x）單調遞增，

所以f（x）min＝f（2）＝4﹣12ln3．

（2）由題意在（﹣1，+∞）有兩個不等實根，

即2x2+2x+b＝0在（﹣1，+∞）有兩個不等實根，

設g（x）＝2x2+2x+b，則，解之得